大学で学ぶ数学の分野一覧!高校数学とのレベルの違いは?

最終更新日: 2019/11/11 18:14
数式を見る少女

大学で学ぶ数学は、義務教育や高校時代に学んだ数学と比較すると難しさや考え方が大きく異なります。高校までの数学を得意としている学生でも、大学の数学問題を解けない方も多く存在します。

この記事では大学で学ぶ数学の分野と高校数学とのレベルの違い、おすすめの参考書について解説していきます。

大学数学と高校数学の違いと共通点

フラクタルアート

まずは簡単に大学数学と高校数学の違いを見ていきましょう。過度な表現をしている部分もありますが、大学数学と高校数学は大きく異なるということが伝われば幸いです。

また、考え方として経済学や工学に用いる数学と数学科の学ぶ数学の種類が違うと筆者は考えているので、数学科で学ぶ数学と数学科以外で学ぶ数学に分けて紹介していきます。

数学科における大学数学と高校数学の違い

大学数学高校数学
公式・定理を考える公式・定理から答えを導く
抽象的に考える実用的に考える
答えが存在しない(曖昧)答えが存在する(明確)
論理的に考えるパズルゲーム
理論・難解な証明計算・簡単な証明

数学科における大学数学と高校数学の共通点

  1. 楽しい・楽しくない
    大学数学も高校数学も楽しいと感じる方もいますし、どちらも楽しくないと感じる方もいます。仮説から組み立て、証明することができたら楽しいですよ。

  2. 役に立つ・役に立たない
    生き方次第で大学数学も高校数学も役に立つと感じる方もいますし、そう感じない方もいます。大学数学のように論理的に考える能力、高校数学のように日常の問題に対して実用的に計算する能力のどちらも役に立つと思います。

数学科以外の大学数学と高校数学の違い

数学科以外の大学数学と高校数学の違いはさほどありません。高校数学の延長線上にあり、多少複雑化するものの定理や公式の理解があれば応用可能です。

筆者は経済学における数学を専攻していましたが、難解な証明というよりは各理論を用いて新しい仮説を作って数学で解くことが多かったです。

高校数学は点と点を線にして解を導く、数学科の大学数学は点とはなにかを論じる

大学数学と高校数学を抽象的に表現するのであれば、高校数学は点と点を線にする、大学数学は点とはなにかを数学言語で表現するものと言えるでしょう。高校数学は公式や解に導き出す計算パターンを点として知っておけば、応用問題ではその点を線にするだけで解を導けます。

数学科の大学数学は高校数学の延長線上ではなく、奥の真理や背景、点とは何かを論じるものと言えます。解が存在するとは限らず、ただ解がないことすら最終的な結論に持っていくことが一つの解とも言えます。

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大学数学の分野一覧

キューブジオメトリ

大学数学の分野は大きく分けると、代数学、幾何学、解析学の3つ分類されます。

この記事では京都大学数学数理解析専攻資料東京大学大学院数理科学研究科カリキュラムを参考にしてそれぞれを解説していきます。

代数学

代数学は「方程式を解く」という基本的な概念から成り立ち、高校数学まで勉強している方は二次方程式はわかるかと思いますがその一つです。

代数学の種類(一部)

・群論、環論、体論
・ジョルダン標準形
・多重線形代数
・ガロア理論
など

幾何学

幾何学は空間を含む図形に関わる分野で物理学との不可分な関係です。有名な定理だとピタゴラスの定理もその一つです。

幾何学の種類(一部)

・多様体論
・ホモロジー群、コホモロジー群、ホモトピー群
・ベクトル場
・微分形式
など

解析学

解析学は微積分をさらに発展させたものでこちらも物理学や工学と関連性の強い分野です。微分積分は高校数学で学んだり聞いたことがある方は多いでしょう。

解析学の種類(一部)

・複素関数
・ルベーグ測度
・微分方程式
・フーリエ変換
・超関数
など

その他の大学数学の分野

数学科以外が学ぶ大学数学の分野を紹介します。工学系が学ぶ数学は数学科と近しい部分もありますが、あくまで公式や定理を用いることが多く、数理寄りの工学だと証明などもすることを理解してください。

経済数学、計量経済学

・行列
・線形代数
・確率論
など

工学系、物理学

・常微分方程式
・ラプラス変換
・偏微分
など

大学数学についておすすめする参考書

・群、環、体論


・複素関数


・微分形式


・金融工学


・ラプラス変換


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まとめ

以上「大学で学ぶ数学の分野一覧!高校数学とのレベルの違いは?」でした。数学と言っても、みなさんの知らない分野が山ほどあり、学部によっても数学の難易度やアプローチ方法が違うことが理解いただけたかと思います。

これから大学に進学して数学を学ぼうとしている方に大学数学にはどんなものが存在するか少しでも知ってもらえたら幸いです。

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